DOMINIOS EN Z

si A  es un anillo conmutativo con 1 en el cual se cumple el axioma 9 se diera que A es un dominio entero por lo tanto podemos decir que en Z es un dominio

En un dominio ENTERO vale la LEY DE LA CANCELACION para la multiplicacion
si a,b^cEZ^  a=0  ab = ac
b=c 
                                 ab= ac
                       ab+(-ac)=ac+(-ac)
                           ab-ac=ac-ac
                               ab=ac=0
                        1/a[a(b-c)]= 1.0/a (0)
                         (1/a*a) (b-c)=1.0/a
                         1(b-c)=0/a
                             b-c=0  

                     (b-c)+c=0-c
                       (b+(-c))+c=0+c
                      b+((-c)+c)=0+c
                        b+0=c
                            b=c 

hasi podemos decir que si Z es un dominio entero,en Z vale la ley de la cancelacion 
en esta propiedad el factor que podemos cancelar debe ser = 0 si a = 0 puede se que ab=ac si que b^c sean iguales

PROPIEDADES EN ANILLOS EN Z

ley de la cancelación

si a,b^cE Z^ a+b=a+c  b=c

demostacion:    

                         a+b=a+c

                         a+(-a)=0  inverso aditivo

En matemáticas, el opuesto (o simétrico para la suma, o inverso aditivo), de un número es el número que, sumado con , da cero. El inverso aditivo de se denota . 

Por ejemplo: 

El opuesto de 7 es-7 , porque = 0

Así se conoce este teorema, cuya demostración puedes ir descubriendo paso a paso, en la ventana de la derecha.

Idea y Método de la Demostración
La idea es partir de a,  y mediante una cadena de igualdades llegar a b, utilizando el llamado Método Directo.

Para construir
Para construir tal cadena de igualdades se deben utilizar exclusivamente los axiomas reales , las hipótesis del teorema y desde luego propiedades conocidas de la igualdad, en este caso la transitividad: Six = w y w = z, entonces x = z y el siguiente Principio: "Si en una expresión se sustituye un objeto por otro igual, la expresión resultante es la igual a la anterior". En adelante nos referiremos a éste como Principio de sustitución.

EN LA MULTIPLICACIÓN: 

Así se conoce este teorema, cuya demostración puedes ir descubriendo paso a paso, en la ventana de la derecha.

Idea y Método de la Demostración
La idea es partir de a,  y mediante una cadena de igualdades llegar a b, utilizando el llamado Método Directo. 

Para construir tal cadena de igualdades se deben utilizar exclusivamente los axiomas de los reales, las hipótesis del teorema, teoremas o resultados anteriores y, desde luego propiedades conocidas de la igualdad, en este caso la transitividad: Si x = w y w = z, entonces x = z y el Principio de sustitución.

EJEMPLO:

ya que : 0+0=0

tenemos: 0a=(0+0)a

                   =0a + 0a

                   =0+0

               oa=0    

CONJUNTO DE LOS Z

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen(«números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ : La recta numérica Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica: Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto: El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||». Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0. Resta[editar · editar código] La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplos (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 Multiplicación[editar · editar código] La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado. En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos. Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos (+) × (+)=(+) Más por más igual a más. (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más. Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales: La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a. Ejemplo. Propiedad asociativa: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 Suma[editar · editar código] Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado. Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61 La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a. Ejemplo. Propiedad asociativa: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8 Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales: Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

ANILLO EN Z

 Los conocidos anillos de n´umeros enteros Z, racionales Q, reales R y complejos C con las operaciones
usuales de adici´on y multiplicaci´on respectivas. Todos ellos son conmutativos. El anillo Z es un sub anillo
del anillo Q; Q es un subanillo de R; y R es un subanillo de C.
 El conjunto Z = {0,1}, con las operaciones de adición y multiplicación dadas por las tablas adjuntas,




es un anillo.
Con mayor generalidad, sea m un entero, el conjunto Zm de las clases de restos de enteros modulo m con
las operaciones de adición y de multiplicación de clases es un anillo conmutativo: el anillo de clases
de restos modulo m. Notes que Z1 es el anillo cero: {0}
  

 es una ley de composición interna en Z pues si a y b  Z ,   a + b + 3   Z

            es asociativa pues

                   = (a + b +3)  c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6

             y    = a  (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6

         

       1. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros