Si MCN
1 1)
1 €H
2 2)
Si 1,2,…, H€M à n+1 € M
M= N
Principio del buen
orden
Si A C no vacio de
N à A tiene un elemento que es menor que todos los demás elementos de A.
*) El principio de
inducción à el buen orden
Sea A un su
subconjunto no vacio de N supongamos que A no tiene ningún elemento menor que
todos los demás de A , construyamos un conjunto B con todos los números
naturales b+b< a ¥ a € A como ningún elemento es menor que si mismo , B esta contenida en el
“A” (conjunto complemento todo A )
1,2,3…..b b+1
b
entonces
i)
1 € B pues de lo contrario en A habrá un elemento, el 1, menor que todos
los demás de A, Además 1 es menor que todos los demás naturales de A.
Luego 1 € B
ii)
Supongamos que b € B( es decir b<a ¥ a € A) .Entonces b+1 € B y como
b<a,b+1 < a, de donde b+1= a € A. Entonces b+1
seria un elemento de todos los demás elementos de A contra lo supuesto.
De acuerdo a el primer de la introducción B=N A B{Ä -à A =N
De donde A=0 contra la hipótesis
con lo que queda demostrado
*) El principio del
buen orden implica el principio de inducción
Sea M{N+ 1 EM ^ si n € M à n+ 1€ M
Si M=N
Sea M de M en N
Si M es no vacio M
tiene un elemento mínimo m; por consiguiente ya que m,-1<M,M-1 €
M; es decir m-1 € M. Pero por hipótesis (m-1)+1 pertenece también a M, es decir
m € M lo cual es una contradicción, luego M=0 y M=N
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