MÁXIMO COMUN DIVISOR

M.C.D

Dados dos numero enteros , a y b el conjunto de divisores comunes de a y b es también un conjunto finito pues este es la intersección del conjunto de divisores de ‘a’ con el conjunto de ‘b’.

Ejemplo:

1.- 28  16 ǀ 4 àM.C.D

        7   4ǀ

28= ±1,±2,±4,±7,±14,±28

16=±1,±2,±4,±8,±16

2.- 200 150 45ǀ 5 àM.C.D

       40    30  15ǀ

200=±1,±2,±4,±5,±8,±10,±20,±25,±40,±50,±100,±200

150=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±25,±30,±50,±75,±150

45=±1,±3,±5,±9,±15,±45

3.- 3080  2060  1040 ǀ 20 à M.C.D

        190   130     52    ǀ

3080=±1,±2,±4,±5,±10,±20,±40,±77,±190,±308,±616,±770,±130,±3080

2060=±1,±2,±4,±5,±10,±20,±103,±206,±412,±515,±1030,±2060

1040=±1,±2,±4,±5,±8,±10,±20,±52,±104,±130,±208,±260,±520,±1040

M.C.D

Aplicación de M.C.D

Factorizar:

Se aplica en la factorización por términos semejantes:

Ejemplo:

-45 a^d b^c c^3e + 60 a^2d+2 b^c+1 c^e+2 -50 a^d b^c-3 c^e

-45  60  -50 ǀ - 5 àM.C.D

  9  -12  10ǀ

*) -45 a^d b^c c^3e  = 9 c^2e

      ----------------------

     -5 a^d b^c c^e

*)  a^2d+2 b^c+1 c^e+2 = -12 a^d+2 b c^2

      --------------------------

      -5 a^d b^c c^e

*)  -50 a^d b^c-3 c^e  = 10 b^-3

      ----------------------

     -5 a^d b^c c^e

Respuesta:   -5 a^d b^c c^e (9 c^2e-12 a^d+2 b c^2+10 b^-3)

ALGORITMO DE LA DIVICION

ALGORIDMO:Proceso de repeticionque se aplica para hallar un resultado (en otras palabras ,procedimiento de calculo)

DEFINICION:  

SI a^ bEZ^   SI b≠0 E! para enteros

q^r+ a=bq+r    donde 0≤ ǀbǀ

Suponer que :

a=436             aǀb  ͢   17/436

b=17

a=bq+r

436=25(17)+1

Por lo tanto q=25, b=17

^r=11

0≤ r < ǀbǀ

0≤ r< ǀ17ǀ

Si se tuviera

A=-436

B=-17

-436=(-17)25-11

R=-11͢   no sirve

-436=(-17)25-17+17-11

-436=-17(25+1)+17-11

-436=-17(26)+6     

 por lo tanto q=26        b=-17

EJEMPLOS:

1) a= 4311 b= 28

a=bqtr

 4311=25(153)+27

2) a= -4311 b= -28

 -4311=-28(153)-28+28-27

 -4311=-28(153+1)+28-27

43110-28(154)+1

 3) a=-4311 b=28

-4311=28(-153)-27

-4311=28(-153)-28+28-27

 -4311=28(-153-1)+28-27

 -4311=28(-154)+1

4) 4311 b= -28

 4311=-28(-153)+27

 4311=-28(-153)-28+28-27

 4311=-(-153-1)+28-27

 4311=-28(-154)+1

criterios 2

5) ENTRE 11:
    CASO*1: Para chicos : si el valor absoluto de la diferencia entre el numero de sus decenas y el de sus unidades  es 0 o es un multiplo de 11

                         11/d-u/
  CASO*2:para medianos: si la suma de parejas de cifras terminadas de derecha a izquierda es múltiplo de 11   EJERCICIO:
         939081
         93+90+81=264
         2+64=66

  CASO*3:para grandes: si el valor absoluto di la diferencia de la suma de las cifras de los lugares pares y las cifras de los lugares impares es 0 o un múltiplo de 11
EJERCICIO:
       87645063
       PIPIP IP I
       87654321

(8+6+5+6)-(7+4+0+3)
    /25-14/=11

6)ENTRE 13:
CASO*1:para chicos:si el numero de sus decenas mas el multiplo de de sus unidades es el multiplo de 13

     13(d+4u)     483+4(6)=507
                         50+4(7)=78

CASO*2:para medianos: si el valor absoluto de la diferencia del numero de sus decenas y 9 veses sus unidades es 0 o un múltiplo de 13
 
13/d-9u/
  EJERCICIO: 273273
       27327-9(3)=27300
       2730-9(0)=2721
       272-9(1)=263
       26-9(3)=17
       1-9(7)=62
CASO*3: para grandes:si el valor absoluto de la diferencia de las sumas de grupos alternos de 3 cifras tomadas de derecha a izquierda es 0 o multiplo de 13

EJERCICIO: 14434069







6)ENTRE 19:
   CASO*1:si el numero de sus decenas mas el doble de sus unidades es el multiplo de 19

     19/(d-2u)

ENTRE 23:

23/(d+7u)

ENTRE 29:

29/(d+3u)

29/(d-26u)/

ENTRE 31:

31/(d-3u)

ENTRE 37:

37/(d-11u)

ENTRE 43:

43/(d-30u)

ENTRE 47:

47/(d-14u)

ENTRE 53:

53/(d-37u)

ENTRE 59:

59/(d-6u)

59/(d-53u

)

ENTRE 61:

61/(d-6u)

ENTRE 67:

67/(d-20u)

ENTRE 71:

71/(d-7u)

ENTRE 73:

73/(d-51u)

ENTRE 79:

79/(d-8u)

79/d-71u

ENTRE 83:

47/(d-58u)

ENTRE 89:

89/(d-9u)

ENTRE 97:

97/(d-29u)

COMPROBAR: 

29)1360709
       13607+3(9)=136097
       13609+3(7)=13588
       13588+3(8)=1334
       1334+3(4)=145


37) 18413087
             1841308-11(7)=1841231
             184123-11(1)=184112
             18411-11(2)=18389
             1838-11(9)=1739
             173-11(9)=74
             7-11(4)=37

Propiedad reflexiva:

¥ a € Z, se tiene que ‘a’ divide a ‘a’

Ya que  a=a(1)

a=1(a)

a(1/a)=1(a)(1/a)

a/a=1(a/a)

a/a=1(1)

a/a=1

Propiedad transitiva:

Si a,b˰c € Z + aǀb˰bǀcàaǀc

De la definición:

ΞI ˰Z q˰r+

 …b=aq   c =br

Entonces.

C=(aq)r=a(qr)

Ya que: aǀc

è Si a˰b € Z˰ U,U’ son unidades

è Las dos condiciones siguientes son equivalentes

i)..a  divide a b

ii)…U a divide a U’b.

b=aq

ya que U=unidad.

ΞI U’

+UU1 =1

Entonces..  b=(UU1) b=(UU1) aq

=Ua(U1q)

àUaǀb

˰bǀU’b

Entonces por la transitividad de UaǀU’b

.°. U´b = var

Pero como u = unidad

Ǝ u´

+ u´,u´ = 1

Por lo tanto b , (u´,u´)  │b= u´,(var)

                                           =a(u´,ur)

Lo que puede a│b

Si a  b € Z, las condiciones son equivalentes

i)              A divide a, b

ii)             │a│ divida a │b│

 SI a € Z à │a│=ua

+ a = unidad

La simetría

Si a ˆ b € Z ˆ son ≠ u Ғ a │b ˆ b │ a

è A= bu en donde u = unidad

B=ar

A=bq

A= carq

A=arq

A como a ≠ 0 , con relación

I=rq

Loque prueba que q = unidad

Propiedad que relaciona la divisibilidad y el orden en Z

*) siaˆb ≠ 0 ˆ € Z ˆ a │ b à │a│ ≤ │b│

Si tenemos que:

│a││b│

a│b│=│a│q

con q ≥

si q = 1

│b│=│a│

A si q ≠ 1

Q= 1+q´ con q´ ≥ 0

Por lo tanto  │b│=│a│ (1+q´)=│a│ + │a│q´

En donde │b│-│a│ =│a│ q´ ≥ 1

Es decir │b│ ≥ │a│

*)sia│b ˆ a│uà a│(b+c)│

Si b=q ˆ c= ar

Por lo tanto b+c = aq +ar

                             =a(q+r)

Es decir a divide a b+c

*)  a│bˆ a entonces a es entero arbitrario

àa+bc

En efecto ya que :

B=aq

Se tiene que :bc= a(qc)

*) si a , b ˆ c € Z + c│b│ ---> c│ar+bc

Para enteros arbitrarios

Un entero que divide a los enteros a ˆ b ß>c│a cualquier combinación lineal de a ˆb

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Recordemos los primos:

Ᵽ= 1,3,5,7,9,11,13,17,19,23,29,31,37,39….

MCD (máximo común divisor)

1050           525

------     =   ------

  28              14

MCM (máximo común múltiplo)

4  5   7  8  14  15      2

2  5   7   4   7  15      2

1  5   7   2   7  15      2             700

1  5   7   1   7 15       3

1  5   7   1  7  15       5

1 11  7   1  7   1        7

1  1   1   1  1  1

Criterios

1)      Entre 2 : Si termina en 0 o en “2u”

Eje: 1940 à divide entre 2 por que termina en par

          884 à divide entre 2 por que termina en par

2)      Entre 3 : si la suma de sus cifras es 3 o múltiplos de 3

Eje:   567 à 5+6+7= 18/3 à 6

            93 à 9+3=12 à 1+2= 3/3 à 1

Caso 1: si el valor absoluto de la diferencia del numero de sus decenas y el duplo de sus unidades es 0 o es múltiplo de 3    3│d-2u│

42351     

4235 - 2(1) =4233

423  -  2(3)=417

41 - 2(7)= 27

2 - 2(7)=12

1 – 2 (2)= 3

152428    

15242 - 2(8) = 15226

1522 -  2(6) =1510

151- 2(0) = 151

15 - 2(1) =13

1– 2 (3) = 5

Caso 2 si la suma del numero de sus decenas y el de sus unidades es múltiplo  de 3

3│ (d+u)   eje: 231

23+1=24

2+4=6 à 2

774948  

77494 - 2(8)= 77478

7747 -  2(8) =7731

773- 2(1)= 771

77 - 2(1) =75

7- 2 (5)= 3

3)entre 5 : si termina en 0 o en 5

Eje: 1990 à divisible entre 5, por que termina en 0

    129875  à divisible entre 5, por que termina en 5

Entre 7 caso 1 : para números propios (o chicos)

Si el valor absoluto de la diferencia del numero de sus decenas y el doble de sus unidades es 0 o son múltiplo de 7

7│d-2n│

Eje :

     182    

     18 - 2(2)    =14

      1  -  2(4)    =7

      168   

       16 - 2(8)   =o

              

Caso 2 para números medianos

Si la suma del numero de sus decenas y el quíntuplo de sus unidades es múltiplo de 7

7│(d+5u)│

Eje :

              13937

1393 + 5(7)    =1428

142 + 5(8)    =182

18 + 5(2)    = 28

2 + 5(8)    =42

4 + 5(2)    = 14

1+ 5(4)     =21

Caso 3: Para números grandes

Si el valor absoluto de la diferencia de las sumas de grupos alternos de 3 cifras formadas de derecha a izquierda es d o múltiplo de 7

Eje:

13317709230

12-317-709-230

|(13+709) – (317 + 230)|

|722 – 547) = 175

Y tomamos el criterio del caso 1

|17 -2(5)| = 7

Eje: 5615197

       5-615-197

    |(5+197) – 615

       (202) – 615 = 413

41+5(3)=56

5+5(6)=35

3+5(5)=28

2+5(2)=42

4+5(2)=14

1+5(4)=21